Divisão.......

Quando devemos dividir?

·  "Você precisa distribuir 72 ovos em 6 cestos de modo que não sobrem ovos e todos os cestos tenham a mesma quantia de ovos. Quantos ovos deverá colocar em cada cesto?

 

·  "Você precisa guardar 90 ovos em caixas iguais. Cada caixa deverá conter 18 ovos. Não devem sobrar ovos. Quantas caixas serão necessárias?

Compare as duas situações-problema.

Do ponto de vista do adulto, que já domina a divisão, podemos até afirmar que as duas situações se equivalem, na medida em que ambas são resolvidas com uma simples divisão. No primeiro caso a resposta é 72 : 6 = 12, e no segundo é 90 : 18 = 5.

Entretanto, para a criança das primeiras séries escolares, essas situações são distintas. Com algum esforço vamos nos colocar no lugar desse aluno, procurando entender como ele pensa.

Observemos uma criança que tenta resolver concretamente aqueles problemas. Ela poderá enfrentar a primeira situação assim: observa o cesto cheio de ovos, olha para os seis cestos vazios, faz uma estimativa e resolve colocar 6 ovos em cada cesto. 

A seguir observa os ovos que sobraram no cestão, faz nova estimativa e decide colocar mais 4 ovos em cada cesto.

 

Olha o que sobrou e distribui mais 1 ovo para cada cesto. Finalmente põe 1 ovo em cada cesto e verifica que o cestão ficou vazio.

 

Depois conta e descobre que colocou ao todo 12 ovos em cada cesto.

 

Agora observemos a criança resolvendo concretamente o segundo problema. Ela poderia completar a primeira caixa, depois a segunda, a terceira e assim por diante até que o cestão ficasse vazio.

Descobriria então serem necessárias 5 caixas. 

   Aos olhos da criança, qual é a diferença entre estas duas situações?

Veja bem: uma vez resolvidos os problemas, tanto num caso como no outro, temos a formação de grupos de ovos. No primeiro são 6 grupos de 12 ovos e no segundo 5 grupos de 18 ovos. Acontece que, no primeiro problema, o número de grupos a serem formados é conhecido de antemão ao passo que, na segunda situação, o número de grupos a serem formados, isto é, o número de caixas, é desconhecido. É por isso que, no segundo problema, a estratégia de solução não pode ser a mesma do primeiro. A criança não poderia ir colocando o mesmo número de ovos em cada caixa, simplesmente porque não sabe quantas caixas serão necessárias. A primeira situação está próxima do sentido usual que se dá para a divisão: repartir, distribuir (igualmente) uma certa quantidade em um número conhecido de grupos. No problema apresentado isto é representando assim: 72 : 6 = 12.

Quando as crianças resolvem concretamente o segundo problema, da maneira como descrevemos, e pedimos que registrem o que fizeram usando símbolos matemáticos, elas costumam escrever:

18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 90

ou

5 x 18 = 90

ou

18 + 18 = 36

36 + 18 = 54

54 + 18 = 72

72 + 18 = 90

5 grupos de 18 completam 90.

ou ainda

90 - 18 = 72

72 - 18 = 54

54 - 18 = 36

36 - 18 = 18

18 - 18 = 0

Em 90 cabem 5 grupos de 18.

Observe como estes registros refletem o raciocínio da criança. Eles mostram o seu modo de pensar. O fato de não escreverem 90 : 5 = 18 (ou 90 : 18 = 5) é sintomático. Além de não usarem estes dois últimos registros, os alunos, em geral, resistem em aceitá-los. Isso mostra a dificuldade que sentem em "enxergar" a divisão no segundo problema. De fato, nessa segunda situação, a divisão se apresenta com uma outra faceta. Não se trata de distribuir uma certa quantidade em um número conhecido de grupos, mas sim de saber quantos grupinhos cabem no "grupão", quantos 18 cabem em 90.

Leia novamente o título deste item. Ele contém uma pergunta. Vamos repondê-la. Há dois tipos de situações-problema que levam à divisão:

 

 

Situação-problema	1. Temos uma quantidade conhecida e queremos repartí-la num certo número de grupos.	2. Queremos saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra.
Pergunta-chave	Quanto em cada grupo?	Quantos grupos?

Apresentamos abaixo duas situações-problema. Analise-as, verificando qual a pergunta chave em cada uma: (a) Situação 1 "Três amigos se associam, em partes iguais, na compra de uma máquina cujo valor é R$3.600,00. Quanto cada um deverá pagar?" Escolha uma alternativa: (1) Pergunta chave = Quanto em cada grupo? (2) Pergunta chave = Quantos grupos? alternativa número (b) Situação 2 "Numa cidade planejada, os quarteirões têm 120m de comprimento. Quantos quarteirões há numa avenida que tem 1800 metros?" Escolha uma alternativa: (1) Pergunta chave = Quanto em cada grupo? (2) Pergunta chave = Quantos grupos? alternativa número

 

Sentadas no chão, formando uma roda, as crianças decidiram pegar 10 balas cada uma. O saco ia passando de mão em mão e cada uma, na sua vez, retirava suas balas. Vovô observava os netos. 

Na segunda rodada as crianças decidiram pegar mais 3 balas cada uma. Isto feito, olharam as balas que ainda restaram no saco e as entregaram ao vovô, com a recomendação que as repartisse com a vovó. 

Na terceira rodada cada neto pegou uma bala. As duas restantes ficaram para os avós.

Após a primeira rodada cada criança tinha 10 balas e restavam 30 no saco: 100 = 7 x 10 + 30. Era possível prosseguir a distribuição. Após a segunda rodada cada uma tinha 13 balas e restavam 9 no saco: 100 = 7 x 13 + 9. Nesse momento, apesar de ser possível ainda prosseguir, os netos deram por encerrada a distribuição. Mas o avô pediu que prosseguissem e, após a terceira rodada, cada um tinha 14 balas. Restavam 2 no saco: 100 = 7 x 14 + 2.

Neste ponto, como 2 é menor do que 7, e não havia a intenção de fracionar as balas, a divisão se encerrou.

As idéias presentes nas situações anteriores estão embutidas na definição de divisão de números naturais.

Dividir um número natural a pelo número natural b significa encontrar outros dois números naturais q e r que obedeçam a estas condições: a = b x q + r , e , r < b (r é menor do que b).

Representamos a divisão assim: 

O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto.

EXEMPLOS:

Vejamos a divisão 

Como 100 = 15 x 6 + 10 , e , 10 < 15, dizemos que na divisão de 100 por 15 o quociente é 6 e o resto é 10.

• É verdade que 23 = 7 x 2 + 9

Entretanto não é correto afirmar que, na divisão de 23 por 7, o quociente é 2 e o resto é 9, pois 9 é maior do que o divisor 7 e, portanto, ainda podemos continuar a divisão.

A divisão correta é: 

 

• A "divisão" abaixo está errada pois, apesar de 9 ser menor que 16, não é verdade que : 127 = 16 x 8 + 9

A divisão correta é: 

Nesta parte da lição abordamos uma série de conceitos e idéias relacionadas com a divisão. 

 

Complete a tabela:   dividendo divisor00 quociente resto0000 a)00000 8 3 b)00000 4 3 1 c)00000 22 3 d)00000 17 3 2 e)00000 40 8

Nem tudo é permitido

A subtração e a divisão não são comutativas

As operações possuem propriedades. Assim, por exemplo, na adição não importa a ordem das parcelas, isto é, a + b = b + a. O mesmo acontece na multiplicação: são operações comutativas (comutar é trocar). Entretanto, a subtração e a divisão não são comutativas. Por exemplo: 5 - 2 não é mesmo que 2 - 5 e 6 : 2 não é o mesmo que 2 : 6. Na divisão, não podemos trocar de lugar o dividendo com o divisor.

A subtração e a divisão não são associativas

Já vimos que a adição e a multiplicação são associativas (lembra-se?)

(a + b) + c = a + ( b + c)

(a . b) . c = a . ( b . c)

As letras a, b e c representam números quaisquer.

Será que vale o mesmo para a subtração e a divisão? São verdadeiras as igualdades seguintes?

(a - b) - c = a - (b - c)

(a : b) : c = a : (b : c)

Façamos uma experência com números:

(20 - 10) - 2 = 10 - 2 = 8

20 - (10 - 2) = 20 - 8 = 12

LOGO: (20 - 10) - 2 é diferente de: 20 - (10 - 2)

(40 : 10) : 2 = 4 : 2 = 2

40 : (10 : 2) = 40 : 5 = 8

LOGO: (40 : 10) : 2 é diferente de: 40 : (10 : 2)

Portanto a subtração e a divisão não são associativas.

Estamos vendo que, para cada operação, valem certas propriedades e não valem outras. Para saber o que vale e o que não vale, em cada caso, só há uma regra: pensar sempre!

Divisão: na vida e na matemática

Em matemática, quando propomos dividir 7 por 3, está subentendido que a divisão deve ser feita em partes iguais. Na vida também é sempre assim? Veja o que aconteceu com Adriana.

 

·  "Adriana tem 5 anos. Como toda criança, ela também não gosta de ir ao dentista. Mas desta vez não achou ruim. É que, ao final da consulta, ganhou 7 pirulitos com a recomendação de dividi-los entre ela e seus irmãos. 

De volta para casa, sentada no ônibus, foi pensando em voz alta:

- Um para mim, um para minha irmã e um para meu irmão.

Como ainda havia pirulitos sobrando, ela prosseguiu:

- Um para mim outravez, outro para minha irmã e outro para meu irmão.

O sétimo pirulito Adriana foi chupando no caminho!"

Com muita naturalidade Adriana dividiu os 7 pirulitos entre ela, sua irmã e seu irmão, ficando com 3 pirulitos para si e dando 2 para cada um deles. Outra criança poderia, talvez, tentar dividir o sétimo pirulito em três partes. Uma outra, quem sabe, daria o sétimo pirulito para seu pai.

No dia-a-dia as pessoas, e as crianças em particular, dividem, repartem, distribuem coisas. Essas experiências constituem o ponto de partida para o trabalho com a divisão. Precisamos compreender, entretanto, que na vida cotidiana e, principalmente para a criança, dividir não significa, necessariamente, dividir em partes iguais. É importante perceber também que, em nossa língua, a palavra dividir é empregada com muitos sentidos diferentes. Veja estes exemplos:

·  "O corpo humano divide-se em três partes: cabeça, tronco e membros."

Nesta frase o verbo dividir é empregado no sentido de distinguir as diversas partes.

·  "A notícia dividiu os moradores da cidade.

Aqui, dividir tem o sentido de estabelecer desavenças, pôr em discórdia.

·  "O Rio Uruguai divide vários países".

Nesta frase divide significa demarca, limita.

·  "A altura AH divide o triângulo ABC nos triângulos ABH e ACH."

Nesta sentença, divide significa corta, reparte, secciona. 

O último exemplo mostra que, até mesmo num contexto matemático, a palavra dividir nem sempre é empregada no sentido de dividir em partes iguais. Quando se trata de dividir um número por outro número, então sim, subentende-se que a divisão seja feita em partes iguais. 

A escolha de critérios para dividir

Nas séries iniciais do 1º grau, ao trabalhar com a divisão, pretendemos que a criança compreenda o que significa, na matemática, dividir um número por outro. Para que ela atinja essa compreensão é preciso realizar um trabalho que tem, como ponto de partida, como vimos, as experiências com situações em que ela, espontaneamente, reparte, divide, distribui.

Precisamos estar atentos para as divisões que as crianças realizam nas atividades, jogos e brincadeiras, ou na hora de repartir o chocolate ou o lanche. Em cada oportunidade devemos discutir com elas o critério que usaram para dividir: a divisão foi em partes iguais ou não? Não se trata, neste momento, de classificar estas divisões como certas ou erradas. A finalidade das discussões é fazê-las compreender que uma divisão sempre envolve a escolha de critérios para dividir. Vejamos algumas questões que propiciam essa discussão.

·  "Repartir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas". Não foi exigido que a divisão fosse feita em partes iguais. Temos muitas maneiras de fazer a distribuição:

- 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola;

- 2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3 bolas;

- as 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas;

- cada pessoa recebe 1 bola e ficam sobrando 6 bolas;

- 3 pessoas com 2 bolas e 1 pessoa com 4 bolas; etc.

·  "Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que todas recebam a mesma quantidade de bolas".

Neste caso temos 2 possibilidades:

- cada pessoa recebe 1 bola e sobram 6 bolas;

- cada pessoa recebe 2 bolas e sobram 2 bolas.

·  "Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que todas recebam a mesma quantidade de bolas e sobre o menor número de bolas.

Neste caso só há um modo de repartir: 2 bolas para cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas.

·  "Repartir 9 bolas para 3 pessoas de modo que elas recebam o mesmo número de bolas, e cujo número seja o maior possível."

Cada pessoa deve receber 3 bolas.

Uma classe tem 40 alunos. Querendo dividi-los em grupos com o mesmo número de alunos, a professora discutiu com eles quais seriam as possibilidades, inclusive que não seria bom haver grupos com mais de 5 alunos. Quantos grupos foram formados de acordo com seu tamanho? Complete: grupos de 2 alunos. grupos de 4 alunos. grupos de 5 alunos.